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--- markow:settheory [2014/12/08 00:40] – angelegt Tscherter, Vincent
+++ markow:settheory [2024/03/03 22:36] (aktuell) – Tscherter, Vincent
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+====== Mengenlehre ======
+{{gem/mgr}}{{gem/pageinfo}}
+Für alle Elemente ''x'' gilt ''x ∈ U = {A,B,C,D,...,Z}'' und somit ''|U| = 26''. Siehe auch [[wpde>Mengenlehre]]
+===== -#1 Vereinigung =====
+{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/330px-Venn0111.svg.png?150}}
+  ; in
+  : <code>{B,X,C,D} ∪ {A,B,C}</code>
+  ; out
+  : <code>{B,X,C,D,A}</code>
+ {{gem/plain#df4788fa7e4c8b81}}
+++++ Lösung | <code>
+/[^A-Z,]/,/g          Alles ausser [A-Z,] entfernen
+/([A-Z])(.*)\1/$1$2/  Mehrfachelemente entfernen
+/,,+/,/g              Formatierung bereinigen
+/^,(.*?),?$/{$1}/!    Finalisierung</code>
+Testing: Leere Mengen sind ok++++
+===== - Schnittmenge =====
+{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/330px-Venn0001.svg.png?150}}
+  ; in
+  : <code>{B,X,C,D} ∩ {A,B,C}</code>
+  ; out
+  : <code>{C,B}</code>
+ {{gem/plain#fc034d8954b628a8}}
+++++ Lösung | <code>
+/([A-Z])(.*∩.*)\1(.*)=/$2$3=,$1/ Gemeinsame extrahieren
+/.*=,?(.*)/{$1}/!                Finalisieren
+/$/=/                            Intitialisierung: = Anfügen</code>
+Testing: Leere Mengen sind auch ok++++
+===== - Relatives Komplement =====
+{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Venn0100.svg/330px-Venn0100.svg.png?150}}
+  ; in
+  : <code>{A,B,C,D} \ {B,D}</code>
+  ; out
+  : <code>{A,C}</code>
+ {{gem/plain#f55a201fc22b630f}}
+++++ Lösung | <code>
+/[^A-Z,]/,/g          Alles ausser [A-Z,] entfernen
+/([A-Z])(.*)\1/$2/    Gemeinsame Elemente entfernen
+/,,+/,/g              Formatierung bereinigen
+/^,(.*?),?$/{$1}/!    Finalisierung</code>
+Testing: Leere Mengen sind ok. Bei ''X \ Y'' muss ''Y'' eine Teilmenge von ''X'' sein!++++
+===== - Absolutes Komplement =====
+  ; in
+  : <code>U \ {A,B,C,D,X,Y,Z}</code>
+  ; out
+  : <code>{E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W}</code>
+ {{gem/plain#15af0aef9de637af}}
+++++ Lösung | <code>
+/^U\s*\\\s*\{/{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}/
+/[^A-Z,]/,/g          Alles ausser [A-Z,] entfernen
+/([A-Z])(.*)\1/$2/    Gemeinsame Elemente entfernen
+/,,+/,/g              Formatierung bereinigen
+/^,(.*?),?$/{$1}/!    Finalisierung</code>
+Testing: ''U\U = {}'' ist ok++++
+===== - Symmetrische Differenz =====
+{{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Venn0110.svg/330px-Venn0110.svg.png?150}}
+  ; in
+  : <code>{D,A,B} △ {C,A,B}</code>
+  ; Out
+  : <code>{D,C}</code>
+ {{gem/plain#d54a6e24ce1bcd04}}
+++++ Lösung | <code>/\s//g
+/([A-Z])(.*)△(.*)\1/$2△$3/
+/,,+/,/
+/\}△\{/,/
+/,\}/}/
+/\{,/{/</code>
+Testing: Geht auch mit leeren Mengen++++
+===== - Karthesisches Produkt =====
+  ; in
+  : <code>{A,B,C} × {E,F}</code>
+  ; out
+  : <code>{(CF),(CE),(BF),(BE),(AF),(AE)}</code>
+ {{gem/plain#63722fa0ebab5d43}}
+++++ Lösung |
+<code>
+/\{([A-Z])(.*)\{([A-Z])(.*)=/{$1$2$3{$4=,($1$3)/ Paaren (1)
+/\{[A-Z](.*)×(.*)\{\}/{$1×{$2}/                  Paaren (2)
+/{}.*=,?/{/!                                      Finalisieren
+/[^A-Z{}×]//g        Überflüssiges entfernen
+/$/=}/               =} hinten anfügen</code>
+Testing: Leere Mengen ok++++
+===== - Potenzmenge =====
+  ; in
+  : <code>ℙ({A,B,C})</code>
+  ; out
+  : <code>{{A,B,C},{A,B},{A,C},{A},{B,C},{B},{C},{}}</code>
+ {{gem/plain#d232678cd153c25c}}
+++++ Lösung|
+<code>
+/ℙ\(\{\}\)/{}/ !
+/β(.*)0./β$1/
+/β(.*)1(.)/β$1,$2/
+/\{,/{/g
+/\{β,(.*)/{{$1}/!
+/^((1.)*)=,/{β$1},/
+/1(.)α0/α0$10/
+/0(.)α0/1$10/
+/(.*)1(.)=/$1α0$2=,{$11$2}/
+/(.*)0(.)=/$11$2=,{$1}/
+/ℙ?\(?\{?(\b[A-Z]),?\}?\)?/0$1/g
+/$/=/
+</code>
+Idee: Eine Binärzahl mit sovielen Stellen wie Elemente in der Menge von 0 bis 2<sup>n+1</sup>-1 iteriren.
+<code>{A,B,C} -> 111,110,101,100,011,010,001,000
+/^(1*)=,/$1,/!
+/1α0/α00/
+/0α0/10/
+/(.*)1=/$1α0=,$11/
+/(.*)0=/$11=,$10/
+/\{?\b([A-Z]),?\}?/0/g
+/$/=/
+</code>
+Entsprechende Buchstaben filtern.
+<code>
+{A,B,C}  -> 1A1B1C,1A1B0C,1A0B1C,1A0B0C,0A1B1C,0A1B0C,0A0B1C,0A0B0C
+/^((1.)*)=,/$1,/!
+/1(.)α0/α0$10/
+/0(.)α0/1$10/
+/(.*)1(.)=/$1α0$2=,$11$2/
+/(.*)0(.)=/$11$2=,$10$2/
+/\{?\b([A-Z]),?\}?/0$1/g
+/$/=/
+</code>++++
+===== - Unäre Kardinalität=====
+  ; in
+  : <code>|{A,B,C}|</code>
+  ; out
+  : <code>111</code>
+ {{gem/plain#7a852e12c1ec48eb}}
+++++ Lösung|
+<code>/[A-Z]/1/g
+/[^1]//g!
+</code>++++
+===== - Binäre Kardinalität=====
+  ; in
+  : <code>|{A,B,C,D,E}|</code>
+  ; out
+  : <code>101</code>
+ {{gem/plain#ca194ce6eebbb297}}
+++++ Lösung|
+<code>/[A-Z]/1/g
+/[^10α]//g
+/^(1+)\1(α|$)/$1α0/
+/^1(1+)\1(α|$)/$1α1/
+/^1α/1/!
+/^$/0/!
+</code>++++

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